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Formeln bzw. Gleichungen umstellen

Formeln bzw. Gleichungen umstellen sind in der Physik elementar. Dadurch können nämlich physikalische Zusammenhänge zwischen Größen dargestellt werden. Soll so zum Beispiel eine Größe berechnet werden, müssen die anderen Größen bekannt sein, um die Gleichung zur gesuchten Größe hin umzustellen.

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Was ist überhaupt eine Gleichung?

Jede physikalische Formel hat die Form einer Gleichung. Dabei besteht jede Gleichung aus zwei Seiten und einem Gleichheitszeichen dazwischen. Dieses besagt, dass auf beiden Seiten das Gleiche steht, auch wenn es auf den ersten Blick nicht danach aussieht!

Grundlegende Gleichungen der Physik sind zum Beispiel:

      • Grundgleichung der Mechanik:
      • Energie eines Photons:

Es ist dabei möglich, jede Gleichung zu verändern, indem man Rechenoperationen durchführt. Doch damit die Gleichung erfüllt bleibt, also auf den beiden Seiten ommer noch das Gleiche steht, muss man jede Rechenoperation immer gleichermaßen auf beiden Seiten durchführen!

Die Rechenoperationen

In jeder Gleichung ist die gesuchte Größe mit einer anderen Größe oder einer anderen Zahl verknüpft. Um so eine Bindung aufzuheben, muss jeweils die Umkehroperation (auch Gegenoperation) durchgeführt werden.

Operation Symbol Gegenoperation Symbol
Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Quadratwurzel

Quadrat

n-te Wurzel

Potenz

e-Funktion

natürlicher Logarithmus
"Logarithmieren"

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Beispiel 1:

Wollen wir nun die Grundgleichung der Mechanik nach umstellen, so gilt:

Die jeweiligen Werte für die Kraft und die Beschleunigung kann man nun einsetzen und damit die gesuchte Masse bestimmen.

Häufige Fehler:

Wenn wir nun die folgende Gleichung nach umstellen wollen, so sollte man folgendes beachten:

Es gilt dann aber NICHT:

Man muss, wenn man die Division so vollzieht, den Kehrwert bilden, denn es gilt dann:

 

Beispiel 2:

Nun kommen wir zu den etwas anspruchsvolleren Gleichungen. Für die Eigenfrequenz eines elektrischen Schwingkreises (ungedämpft) gilt:

Diese Gleichung möchten wir nun nach der Kapazität umstellen:

Nun gilt:

Wir sollen nun quadrieren, damit wir an heran kommen.

Es gilt somit die Gleichung:

Jetzt stellen wir nach um, indem wir die Induktivität multiplizieren:

Jetzt bilden wir noch den Kehrwert und erhalten für :

 

Beispiel 3:

Wir möchten nun das Zerfallsgesetz nach umstellen:

Somit divieren wir zunächst :

Nun müssen wir an den Exponenten dran kommen. Dadurch müssen wir die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion anwenden, dies ist der natürliche Logarithmus:

Für die gesuchte Größe gilt somit:

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